Question

已知等腰梯形PDCB中（如图），PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A为PB边上一点，且PA=1，将△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD．
（Ⅰ）证明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）试在棱PB上确定一点M，使截面AMC把该几何体分成的两部分PDCMA与MACB的体积的比为2：1；
（Ⅲ）在M满足（Ⅱ）的情况下，求二面角M-AC-P的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,组合几何体的面积、体积问题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由已知CD⊥AD，DC⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PCD．
（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一点M，作MN⊥AB，设MN=h，要使截面AMC把该几何体分成的两部分PDCMA与MACB的体积的比为2：1，需（

1

2

-

h

3

）：

h

3

=2：1，由此能求出M为PB的中点．
（3）取AB的中点N，联结MN，连结ND与AC交于点O，联结MO，∠MON是二面角M-AC-B的平面角，由此能求出二面角M-AC-P的余弦值．

解答： （本小题满分12分）
（1）证明：依题意知：CD⊥AD．
又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD．…（2分）
又DC?面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）解：由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．…（4分）
在PB上取一点M，作MN⊥AB，则MN⊥平面ABCD，
设MN=h，则VM-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

，
VP-ABCD=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

(1+2)

2

×1×1=

1

2

…（6分）
要使VPDCMA：VMACB=2：1，即(

1

2

-

h

3

)：

h

3

=2：1，解得h=

1

2

，
即M为PB的中点．…（8分）
（3）解：取AB的中点N，联结MN，连结ND与AC交于点O，联结MO
则MN⊥面ABCD，所以MN⊥AC，
又ADCN为正方形，故NO⊥AC，
所以AC⊥面MNO，故MO⊥AC，
所以∠MON是二面角M-AC-B的平面角，
又由PA⊥面ABCD，知面PAC⊥面ABCD，
所以二面角M-AC-B和二面角M-AC-P互余，
设二面角M-AC-P的平面角为θ，则cosθ=sin∠MON…（10分）
在Rt△MON中，MN=

1

2

，NO=

2

2

，MO=

3

2

，cosθ=sin∠MON=

3

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查使截面AMC把该几何体分成的两部分PDCMA与MACB的体积的比为2：1的点的位置的确定与求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．