Question

已知函数：f（x）=（a∈R且x≠a）．
（1）证明：f（x）+f（2a﹣x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f（x）的定义域为[a+，a+1]时，求证：f（x）的值域为[﹣3，﹣2]；
（3）若a＞，函数g（x）=x²+|（x﹣a） f（x）|，求g（x）的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵f（x）==﹣1，
∴f（2a﹣x）=﹣1=﹣﹣1，
∴f（x）+f（2a﹣x）+2=+（﹣）﹣2+2=0，与x取值无关．
∴f（x）+f（2a﹣x）+2=0对定义域内的所有x都成立；
（2）证明：∵f（x）的定义域为，
∴﹣1﹣a≤﹣x≤﹣a﹣，﹣1≤a﹣x≤﹣，﹣2≤≤﹣1，
又f（x）=﹣1，
∴﹣3≤﹣1≤﹣2，即f（x）的值域为[﹣3，﹣2]．
（3）解：函数g（x）=x²+|x+1﹣a|，（x≠a），
①当x≥a﹣1且x≠a时，g（x）=x²+x+1﹣a=（x+）²+﹣a，
当a＞时，a﹣1＞﹣，函数在[a﹣1，+∞）上单调递增，g（x）_min=g（a﹣1）=（a﹣1）²，
②当x≤a﹣1时，g（x）=x²﹣x﹣1+a=（x﹣）²+a﹣，
如果a﹣1＞即a＞时，g（x）_min=g（）=a﹣，
如果a﹣1≤即a≤时，g（x）在（﹣∞，a﹣1）上为减函数，g（x）_min=g（a﹣1）=（a﹣1）²，
当a＞时，（a﹣1）²﹣（a﹣）=（a﹣）²＞0，
综合可得，当＜a≤时，g（x）的最小值是（a﹣1）²；
当a＞时，g（x）的最小值是a﹣．