Question

11．记f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$，又记f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，则f₂₀₁₅（x）=（　　）

• A． -$\frac{1}{x}$
• B． x
• C． $\frac{x-1}{x+1}$
• D． $\frac{1+x}{1-x}$

Answer 1

分析 根据递推公式f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，可以递推出前几项，能不完全归纳出周期T=4，所以f₂₀₁₅（x）=f₃（x），从而得出答案．

解答 解：由题意知
∵f₁（x）=f（x），f_k+1（x）=f（f_k（x）），k=1，2，…，
∴f₁（x）=f（x），
 f₂（x）=f（f₁（x））=-$\frac{1}{x}$；
 f₃（x）=f（f₂（x））=$\frac{x-1}{x+1}$；
 f₄（x）=f（f₃（x））=x；
 f₅（x）=f（f₄（x））=$\frac{1+x}{1-x}$；
…
归纳出规律：f_k（x）以周期T=4的周期数列，
∴f₂₀₁₅（x）=f₃（x）=$\frac{x-1}{x+1}$；
故选：C．

点评 本题主要考查由递推公式，递推出数列的前几项，归纳出一定的规律，即周期为T=4的周期数列，对学生的不完全归纳法的思想能力要求比较高．