Question

1．F₁，F₂是椭圆的两个焦点，过F₂的直线交椭圆于P，Q两点，PF₁⊥PQ，且PF₁=PQ，求椭圆的离心率．

Answer 1

分析 设|PF₁|=t，则|PQ|=t，|F₁Q|=$\sqrt{2}$t，根据椭圆定义可知|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a，进而得|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，求得|PF₂|关于t的表达式，进而利用韦达定理可知[（4-2$\sqrt{2}$）a]²+[（2$\sqrt{2}$-2）a]²=（2c）²求得a和c的关系．

解答 解：设|PF₁|=t，则|PQ|=t，|F₁Q|=$\sqrt{2}$t，由椭圆定义有：|PF₁|+|PF₂|=|QF₁|+|QF₂|=2a
∴|PF₁|+|PQ|+|F₁Q|=4a，
化简得（$\sqrt{2}$+2）t=4a，t=（4-2$\sqrt{2}$）a
∴|PF₂|=2a-t=（2$\sqrt{2}$-2）a
在Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|²=（2c）²
∴[（4-2$\sqrt{2}$）a]²+[（2$\sqrt{2}$-2）a]²=（2c）²
∴（$\frac{c}{a}$）²=9-6$\sqrt{2}$
∴e=$\sqrt{6}$-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了学生对椭圆定义的理解和运用．