Question

13．S_n=1+（1+$\frac{1}{2}$）+（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$）+…（1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）等于（　　）

• A． $\frac{1}{{2}^{n}}$
• B． 2n+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• C． 2n-2+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$
• D． $\frac{n-1}{{2}^{n-1}}$

Answer 1

分析 运用等比数列的求和公式，化简通项，再由分组求和公式，结合等比数列的求和公式，计算即可得到．

解答 解：由1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=2-2•（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
则S_n=（2+2+…+2）-2（$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$）
=2n-2•$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=2n-2+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．
故选C．

点评 本题考查数列的求和方法：分组求和，同时考查等比数列的求和公式的运用，属于中档题．