Question

8．已知函数y=sinx+cosx．
（1）求函数的单调区间；
（2）求函数的最值及x的值．

Answer 1

分析 （1）首先，化简函数解析式，然后，根据三角函数的图象求解；
（2）直接根据三角函数的最值性质求解即可．

解答 解：y=sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函数y=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
（1）令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴-$\frac{3π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{π}{4}$+2kπ，
∴该函数递增区间为：[-$\frac{3π}{4}$+2kπ，$\frac{π}{4}$+2kπ]，（k∈Z），
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴$\frac{π}{4}$+2kπ≤x≤$\frac{5π}{4}$+2kπ，
∴该函数递减区间为：[$\frac{π}{4}$+2kπ，$\frac{5π}{4}$+2kπ]，（k∈Z），
（2）x+$\frac{π}{4}$=-$\frac{π}{2}$+2kπ，
∴x=-$\frac{3π}{4}$+2kπ，此时函数取得最小值为-$\sqrt{2}$；
x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z
∴x=$\frac{π}{4}$+2kπ，此时函数取得最大值为$\sqrt{2}$．

点评 本题重点考查了三角公式、三角函数的图象与性质，属于中档题．