Question

3．已知椭圆过点A（5，4），离心率e=$\frac{3}{5}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程．

解答 解：当椭圆的焦点在x轴上时，∵椭圆过点A（5，4），离心率e=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{25}{{a}^{2}}+\frac{16}{{b}^{2}}=1$，$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
∵c²=a²-b²．
∴a²=50，b²=32，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1．
当椭圆的焦点在y轴上时，∵椭圆过点A（5，4），离心率e=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{16}{{a}^{2}}+\frac{25}{{b}^{2}}$=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{5}$，
∵c²=a²-b²．
∴a²=$\frac{881}{16}$，b²=$\frac{881}{25}$，
∴椭圆方程为$\frac{{y}^{2}}{\frac{881}{16}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{881}{25}}$=1．
综上知，所求椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{50}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1，或$\frac{{y}^{2}}{\frac{881}{16}}+\frac{{x}^{2}}{\frac{881}{25}}$=1．

点评 本题重点考查椭圆的标准方程，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．