Question

13．已知两个平面垂直，下列命题中：
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；
③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
其中正确命题的个数有（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，对①、②、③、④四个选项逐一判断即可

解答 解：对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；
对于②，设平面α∩平面β=m，n?α，l?β，
∵平面α⊥平面β，
∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n?α，
∴l⊥n，
而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；
对于③，当两个平面垂直时，?一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；
对于④，当两个平面垂直时，?过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；
故选B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，着重考查面面垂直的性质及空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，属于中档题