Question

3．已知函数f（x）=xⁿ，若f（a+1）＜f（10-2a），
（1）当n=-3时，求a的取值范围；
（2）当n=-$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当n=-3时，根据幂函数的图象和性质即可求a的取值范围；
（2）当n=-$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$时，结合幂函数的奇偶性和单调性进行求解即可

解答 解：（1）当n=-3时，f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$，
则函数在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上也减函数，
当x＞0时，f（x）＞0，当x＜0时，f（x）＜0，
①若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜5}\end{array}\right.$，此时a＜-1
②若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{10-2a＞0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＜5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5，
③若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＜0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＞5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，此时无解，
综上3＜a＜5或a＜-1．
（2）当n=-$\frac{3}{5}$时，f（x）=${x}^{-\frac{3}{5}}$=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{5}}}$，则函数在（0，+∞）上为减函数，在（-∞，0）上也减函数，
当x＞0时，f（x）＞0，当x＜0时，f（x）＜0，
①若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＜5}\end{array}\right.$，此时a＜-1
②若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＞0}\\{10-2a＞0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞-1}\\{a＜5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，解得3＜a＜5，
③若$\left\{\begin{array}{l}{a+1＜0}\\{10-2a＜0}\\{a+1＞10-2a}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜-1}\\{a＞5}\\{a＞3}\end{array}\right.$，此时无解，
综上3＜a＜5或a＜-1．
当n=-$\frac{2}{3}$时，f（x）=${x}^{-\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{{x}^{\frac{2}{3}}}$=$\frac{1}{\root{3}{{x}^{2}}}$为增函数，且在在（0，+∞）上为减函数，
则f（a+1）＜f（10-2a），
等价为f（|a+1|）＜f（|10-2a|），
即|a+1|²）＞|10-2a|²＞0
则平方得a²-14a+33＜0且10-2a≠0，
即3＜a＜11且a≠5，
即a的取值范围是3＜a＜11且a≠5．

点评 本题主要考查不等式的求解，利用幂函数的单调性是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．