Question

15．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$（k∈R）且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，求k的值．

Answer 1

分析 由向量垂直可得两向量的数量积为0，代入数量积公式可求得k的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{c}$=2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，且$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，得
$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}$=（2$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）•（k$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）=$2k|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（3k-2）\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}$
=$2k|\overrightarrow{a}{|}^{2}+（3k-2）|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|cos$$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞$$-3|\overrightarrow{b}{|}^{2}$=0．
又|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°，
∴2k+2（3k-2）cos60°-12=5k-14=0，
解得：k=$\frac{14}{5}$．

点评 本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，考查数量积公式的应用，是基础题．