Question

7．已知0＜a_i＜1（i=1，2，3，4），求证：在四个数a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 设四个数a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）都大于$\frac{1}{4}$，则得a₄（1-a₁）＜a₁（1-a₁）≤$\frac{1}{4}$[a₁+（1-a₁）]²=$\frac{1}{4}$，与a₄（1-a₁）＞$\frac{1}{4}$矛盾，故假设不对．故要证的结论成立．

解答 证明：假设四个数a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）都大于$\frac{1}{4}$．
由a₁（1-a₂）＞$\frac{1}{4}$得a₁、1-a₂中至少一个大于$\frac{1}{2}$，
假设a₁＞$\frac{1}{2}$，由a₄（1-a₁）＞$\frac{1}{4}$，而a₁＞$\frac{1}{2}$得a₄＞$\frac{1}{2}$，
同理a₃＞$\frac{1}{2}$，a₂＞$\frac{1}{2}$．
假设a₁是a₁，a₂，a₃，a₄中最大的一个，则a₄（1-a₁）＜a₁（1-a₁）≤$\frac{1}{4}$[a₁+（1-a₁）]²=$\frac{1}{4}$，与a₄（1-a₁）＞$\frac{1}{4}$矛盾．
所以假设四个数a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）都大于$\frac{1}{4}$不成立，
所以四个数a₁（1-a₂），a₂（1-a₃），a₃（1-a₄），a₄（1-a₁）中至少有一个不大于$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查用反证法证明数学命题，正确运用反证法的步骤是关键，属于中档题．