Question

11．将下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线．
（1）$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数）

Answer 1

分析 （1）将参数t消去，然后，整理关于x，y的关系式即为所求；（2）则需要得到cosφ=$\frac{x}{5}$，sinφ=$\frac{y}{3}$，然后，平方相加即可得到其普通方程．

解答 解：（1）根据$\left\{\begin{array}{l}{x=t+\frac{1}{t}}\\{y=t-\frac{1}{t}}\end{array}\right.$（t为参数），得
x+y=2t，
∴t=$\frac{x+y}{2}$，
∴x=$\frac{x+y}{2}$+$\frac{2}{x+y}$，
∴普通方程为：x²-y²=4．是一条曲线
（2）根据$\left\{\begin{array}{l}{x=5cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），得
cosφ=$\frac{x}{5}$，sinφ=$\frac{y}{3}$，
两式平方，相加，得
普通方程为：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．图象是椭圆

点评 本题重点考查了曲线的参数方程和普通方程的互化等知识，消去参数是解题的关键，属于中档题．