Question

15．已知命题p：y=ln（x²-ax+a）的定义域为R，命题q：2^x+a（$\frac{1}{2}$）^x-1＞0对一切实数x都成立，如果p∧q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 求出命题p，q的等价条件，利用p∧q为假命题，建立条件关系即可．

解答 解：∵p：y=ln（x²-ax+a）的定义域为R，
∴x²-ax+a＞0恒成立，则判别式△=a²-4a＜0，解得0＜a＜4，即p：0＜a＜4．
命题q：2^x+a（$\frac{1}{2}$）^x-1＞0对一切实数x都成立，
则a（$\frac{1}{2}$）^x＞1-2^x，对一切实数x都成立，
即a＞$\frac{1-{2}^{x}}{（\frac{1}{2}）^{x}}$=2^x（1-2^x）=-（2^x）²+2^x，
设f（x）=-（2^x）²+2^x，
则f（x）=-（2^x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$，
∴当2^x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）的最大值$\frac{1}{4}$，
则a＞$\frac{1}{4}$，即q：a＞$\frac{1}{4}$，
若p∧q为假命题，则p，q至少有一个为假命题，
若p，q都为真命题，则$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{4}$＜a＜4，
则若p∧q为假命题，则a≤$\frac{1}{4}$或a≥4．

点评 本题主要考查命题为真命题的等价条件，结合复合命题之间的关系是解决本题的关键．