Question

10．已知x，y满足-1≤x+2y≤3，0≤2x-y≤2．
（1）求x+y的取值范围；
（2）求x-y的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设x+y=m（x+2y）+n（2x-y），求出m．n，利用不等式的性质进行求解；
（2）设x-y=m（x+2y）+n（2x-y），求出m．n，利用不等式的性质进行求解．

解答 解：（1）设x+y=m（x+2y）+n（2x-y），
则x+y=（m+2n）x+（2m-n）y，
即$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=1}\\{2m-n=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{5}}\\{n=\frac{1}{5}}\end{array}\right.$，
即x+y=$\frac{3}{5}$（x+2y）+$\frac{1}{5}$（2x-y），
∵-1≤x+2y≤3，0≤2x-y≤2．
∴-$\frac{3}{5}$≤$\frac{3}{5}$（x+2y）≤$\frac{9}{5}$，0≤$\frac{1}{5}$（2x-y）≤$\frac{2}{5}$．
则-$\frac{3}{5}$≤$\frac{3}{5}$（x+2y）+$\frac{1}{5}$（2x-y）≤$\frac{11}{5}$，
即x+y的取值范围是[-$\frac{3}{5}$，$\frac{11}{5}$]；
（2）设x-y=m（x+2y）+n（2x-y），
则x-y=（m+2n）x+（2m-n）y，
即$\left\{\begin{array}{l}{m+2n=1}\\{2m-n=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{5}}\\{n=\frac{3}{5}}\end{array}\right.$，
即x+y=-$\frac{1}{5}$（x+2y）+$\frac{3}{5}$（2x-y），
∵-1≤x+2y≤3，0≤2x-y≤2．
∴-$\frac{3}{5}$≤-$\frac{1}{5}$（x+2y）≤$\frac{1}{5}$，0≤$\frac{3}{5}$（2x-y）≤$\frac{6}{5}$．
则-$\frac{3}{5}$≤-$\frac{1}{5}$（x+2y）+$\frac{3}{5}$（2x-y）≤$\frac{7}{5}$，
即x-y的取值范围是[-$\frac{3}{5}$，$\frac{7}{5}$]．

点评 本题主要考查不等式范围的求解，根据不等式的性质，利用待定系数法是解决本题的关键．