Question

（本小题满分15分）
若函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，且f(x)极小值＝f(－)＝－．
（1）求函数f(x)的解析式；
（2）求函数f(x)在[－1，m](m＞－1)上的最大值；
（3）设函数g(x)＝，若不等式g(x)·g(2k－x)≥(－k)2在(0，2k)上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)＝－x3＋x
（2）f(x)max＝
（3）实数k的取值范围是(0，)]

解：（1）函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
∴f /(x)＝3ax2＋c，则
故f(x)＝－x3＋x；………………………………5分
（2）∵f /(x)＝－3x2＋1＝－3(x＋)(x－)
∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是增函数，在[－，]上是减函数，
由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　
如图所示，

当－1＜m＜0时，f(x)max＝f(－1)＝0；
当0≤m＜时，f(x)max＝f(m)＝－m3＋m，
当m≥时，f(x)max＝f()＝．
故f(x)max＝．………………10分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R＋，且2k＝x＋y≥2，
又令t＝xy，则0＜t≤k2，
故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
     　＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k2]
当1－4k2≤0时，F(x)无最小值，不合
当1－4k2＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
且F(k2)＝(－k)2，∴要F(k2)≥(－k)2恒成立，
必须，
故实数k的取值范围是(0，)]．………………15分