Question

4．如图，平面DCBE⊥平面ABC，四边形DCBE为矩形，且BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AC，F、G分别为AD、CE的中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求证：平面ABE⊥平面ACD．

Answer 1

分析 （1）根据线面平行的判定定理进行证明FG∥平面ABC；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABE⊥平面ACD．

解答 证明：（1）连接BD．因为四边形DCBE为矩形，且G为CE的中点，
所以BD∩CE=G，且G为线段BD的中点．…（2分）
又因为F为AD的中点，所以FG为△DAB的中位线．
所以FG∥AB．…（4分）
又因为FG?平面ABC，AB?平面ABC，
所以FGP∥平面ABC．…（5分）
（2）因为DCBE为矩形，所以DC⊥CB．
又因为平面DCBE⊥平面ABC，
平面DCBE∩平面ABC=BC，DC?平面DCBE，
所以DC⊥平面ABC．…（7分）
所以DC⊥AB．…（8分）
因为BC=$\sqrt{2}$AB=$\sqrt{2}$AC，所以AB=AC，且AB²+AC²=BC²．
所以∠BAC=90°，即AB⊥AC．…（10分）
又因为AC∩DC=C，AC?平面ACD，DC?平面ACD，
所以AB⊥平面ACD．…（11分）
又AB?平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACD．…12

点评 本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．