Question

（2012•贵州模拟）在△ABC中，AB=3，AC=5，BC=7，角A的平分线交BC于E点．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设线段AE与EC长度分别为m、n，求

m

n

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用余弦定理表示出cosA，将已知的三边长代入求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由由AE为∠BAC的平分线，根据∠BAC的度数求出∠CAE的度数，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值，再利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，在三角形ACE中，由AE=m，EC=n，sinC及sin∠CAE的值，利用正弦定理即可求出m与n的比值．

解答：解：（Ⅰ）∵AB=c=3，AC=b=5，BC=a=7，
∴由余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

32+52-72

2×3×5

=-

1

2

，
又A为三角形的内角，
则A=

2π

3

；
（Ⅱ）由AE为∠BAC的平分线及（1）知：∠CAE=

π

3

，
在△ABC中，由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

13

14

，
∴sinC=

1-cos2C

=

3 3

14

，
在△CAE中，由正弦定理得：

m

n

=

sinC

sin π 3

=

3

7

．

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．