Question

(本小题满分12分)

如右图所示,已知直四棱柱的底面是菱形，且，，F为的中点，M为线段的中点。

(1)求证：直线MF平面ABCD

(2)求证：直线MF平面

(3)求平面与平面ABCD所成二面角的大小

Answer 1

（1）略（2）略(3) 或

解析:

解法一:（1）设AC与BD交于点O，因为点M、F分别为、的中点，所以，

又，――――――――3分

（2）因为底面为菱形且，所以四边形与全等，

又点F为中点，所以，在等腰△中，

因为，所以，可得，

所以（线面垂直判定定理）

――――――――――――――――――――7分

（3）延长，连接AQ，则AQ为平面与平面ABCD的交线.

所以FB为△的中位线, 则QB=BC,设底面菱形边长为a,可得AB=QB=a,

又 所以 那么△ABQ为等边三角形.

取AQ中点N,连接BN、FN，则为所求二面角的平面角或其补角.

在△FNB中,  ――――――11分

即所求平面与平面ABCD所成二面角的平面角为或―――――――12分

（说明：答对一个即给满分）

解法二:设，因为M、O分别为的中点，∴MO∥

又由直四棱柱知，∴

在棱形ABCD中，，∴OB、OC、OM两两垂直，故可以O为原点，OB、OC、OM所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示。―――――――――2分

若设，则B，，，，

(1)由F、M分别为中点可知,M(0，0，1)

∴(1，0，0)＝，又因为和不共线，∴∥OB

又因为,OB平面ABCD，∴MF∥平面ABCD――――――――5分

(2)，而（1，0，0）为平面yOz（亦即平面）的法向量

∴直线MF⊥平面――――――――――――――――――――――――8分

(3)为平面ABCD的法向量，

设为平面的一个法向量，则，

由，，得：

令y=1，得z=，此时

设平面与平面ABCD所成二面角的大小为，

则

所以或，即平面与平面ABCD所成二面角的大小为或――12分

（说明：答对一个即给满分）