Question

8．已知$f（x）=\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$，且$f（0）=0，f（-1）=-\frac{1}{2}$
（1）求f（x）的解析式
（2）证明：f（x）在（0，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）由$f（0）=0，f（-1）=-\frac{1}{2}$，可得$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{\frac{-a+b}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解出即可得出．
（2）?0＜x₁＜x₂＜1，只要证明f（x₁）-f（x₂）＜0即可．

解答 （1）解：∵$f（0）=0，f（-1）=-\frac{1}{2}$，∴$\left\{\begin{array}{l}{b=0}\\{\frac{-a+b}{2}=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得b=0，a=1．
∴f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（2）证明：?0＜x₁＜x₂＜1，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$，
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂-1＜0，$（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）$＞0，
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（0，1）上是增函数．

点评 本题考查了函数解析式的求法、函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．