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    已知△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，并且AB=AD=AC=2a，CD=
    		6
    a    ．
    （1）若P是AC边上的一点，当△PDB的面积最小时，求二面角B-PD-C的正切值；
    （2）在（1）的条件下，求点C到平面PBD的距离；
    （3）能否找到一个球，使A，B，C，D都在该球面上，若不能，请说明理由；若能，求该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值．
    分析：（1）作PH⊥BC，HE⊥BD于E，连接PE，设PH=CH=x，由题设条件解得x=
    6
    		2
    7
    a时，S△PBD最小．以过H点垂直于BC的直线为x轴，以HC为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的正切值．
    （2）由
    BC
    =(0，2
    		2
    a，0)    ，平面PBD的一个法向量
    n
    =（
    		3
    ，-3，4），利用向量法能求出点C到平面PBD的距离．
    （3）R=
    		2
    a    ，设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则
    1
    3
    x2+
    1
    4
    y2=2a2    ，所以xy≤2
    		3
    a2    ，由此能求出该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值．
    解答：解：（1）作PH⊥BC，HE⊥BD于E，连接PE，
    设PH=CH=x，∵△ABC和△DBC是两个有公共斜边的直角三角形，AB=AD=AC=2a，CD=
    		6
    a    ，
    ∴BH=2
    		2
    a-x    ，
    ∴EH=
    		3
    2
    (2
    		2
    a-x)=
    		6
    a-
    		3
    2
    x    ，
    ∴PE=
    		x2+(
    		6
    a-
    		3
    2
    x)2

    =
    7
    4
    x2-3
    		2
    ax+6a2

    =
    		2
    a
    2
    •
    7
    4
    (x-
    6
    		2
    7
    a)2+
    24
    7
    a2
    ，
    ∵0＜x≤
    		2
    a    ，∴x=
    6
    		2
    7
    a时，S△PBD最小．
    以过H点垂直于BC的直线为x轴，以HC为y轴，以HP为z轴，建立空间直角坐标系，

    则P（0，0，
    6
    		2
    7
    a    ），B（0，-
    8
    		2
    7
    a    ，0），C（0，
    6
    		2
    7
    a    ，0），D（-
    		6
    2
    a    ，-
    9
    14
    		2
    a    ，0），
    ∴
    PB
    =（0，-
    8
    7
    		2
    a    ，-
    6
    7
    		2
    a    ），
    PC
    =(0，
    6
    		2
    7
    a，-
    6
    		2
    7
    a)    ，
    PD
    =(
    		6
    2
    a，-
    9
    14
    		2
    a，-
    6
    7
    		2
    a)    ，
    设面PCD的一个法向量为
    m
    =(x1，y1，z1)    ，则有
    m
    •
    PC
    =0    ，
    m
    •
    PD
    =0    ，
    ∴
    6
    		2
    7
    ay1-
    6
    		2
    7
    az1=0
    		6
    2
    ax1-
    9
    14
    		2
    ay1-
    6
    7
    		2
    az1=0
    ，解得
    m
    =（
    		3
    ，1，1），
    设平面PBD的一个法向量为
    n
    =(x2，y2，z2)    ，
    则有
    n
    •
    PB
    =0，
    n
    •
    PD
    =0    ，
    ∴
    -
    8
    7
    		2
    ax2-
    6
    7
    		2
    az2=0
    		6
    2
    ax2-
    9
    14
    		2
    ay2-
    6
    7
    		2
    az2=0
    ，解得
    n
    =（
    		3
    ，-3，4），
    设二面角B-PD-C的平面角为θ，
    cosθ=-|cos＜
    n
    ，
    m
    ＞|=-|
    3-3+4
    		5
    •
    		28
    |=-
    2
    		35
    35
    ，
    ∴tanθ=-
    		31
    2
    ．
    故二面角B-PD-C的正切值为-
    		31
    2
    ．
    （2）∵
    BC
    =(0，2
    		2
    a，0)    ，
    n
    =（
    		3
    ，-3，4），
    ∴点C到平面PBD的距离d=
    |
    BC
    •
    n
    |
    |
    n
    |
    =
    |0-6
    		2
    a+0|
    		28
    =
    3
    		14
    7
    a    ．
    （3）由题意，R=
    		2
    a
    设正三棱柱的底面边长为x，高为y，则
    1
    3
    x2+
    1
    4
    y2=2a2    ，∴xy≤2
    		3
    a2    ，
    ∴S侧=3xy≤6
    		3
    a2，当且仅当x=
    		3
    a    ，y=2a时取等号．
    点评：本题考查二面角的正切值的求法，考查点到平面的距离，考查该球的内接正三棱柱的侧面积的最大值．解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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    精英家教网如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使
    AP
    =λ
    AE
    ，
    PD
    =μ
    CD
    ，
    AB
    =
    a
    ，
    BC
    =
    b
    ．
    （1）求λ及μ；
    （2）用
    a
    ，
    b
    表示
    BP
    ；
    （3）求△PAC的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，在四棱锥S-ABCD中，SA⊥底面ABCD，∠BAD=∠ABC=90°，BC=3SA=3AB=3AD．
    （1）求CD和SB所成角大小；
    （2）已知点G在BC边上，①若G点与B点重合，求二面角S-DB-A的大小；
    ②若BG：GC=2：1，求二面角S-DG-A的大小．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
    B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
    C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
    D．证明不等式：
    1
    1
    +
    1
    1×2
    +
    1
    1×2×3
    +L+
    1
    1×2×3×L×n
    ＜2．

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    如图，已知△ABC的面积为14，D、E分别为边AB、BC上的点，且AD：DB=BE：EC=2：1，AE与CD交于P．设存在λ和μ使数学公式，数学公式，数学公式，数学公式．
    （1）求λ及μ；
    （2）用数学公式，数学公式表示数学公式；
    （3）求△PAC的面积．

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    科目：高中数学 来源：2008-2009学年江苏省南通市启东中学高三（下）5月月考数学试卷（解析版） 题型：解答题

    A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．
    B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．
    C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．
    D．证明不等式：+++L+＜2．

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