Question

3．设大于0的实数x，y满足xy=1，则$\frac{{{{（x+y）}^3}-（{x^3}+{y^3}）}}{{{{（x+y）}^4}-（{x^4}+{y^4}）}}$的最大值为$\frac{3}{7}$．

Answer 1

分析 变形可得原式=$\frac{3}{4（x+y）-\frac{2}{x+y}}$，令t=x+y≥2$\sqrt{xy}$=2，由函数的单调性可得．

解答 解：大于0的实数x，y满足xy=1，
∴$\frac{{{{（x+y）}^3}-（{x^3}+{y^3}）}}{{{{（x+y）}^4}-（{x^4}+{y^4}）}}$=$\frac{{x}^{3}+3{x}^{2}y+3x{y}^{2}+{y}^{3}-{x}^{3}-{y}^{3}}{{x}^{4}+4{x}^{3}y+6{x}^{2}{y}^{2}+4x{y}^{3}+{y}^{4}-{x}^{4}-{y}^{4}}$
=$\frac{3xy（x+y）}{2xy（2{x}^{2}+3xy+2{y}^{2}）}$=$\frac{3（x+y）}{2（2{x}^{2}+2{y}^{2}+3）}$=$\frac{3（x+y）}{4（{x}^{2}+{y}^{2}）+6}$
=$\frac{3（x+y）}{4（x+y）^{2}-2}$=$\frac{3}{4（x+y）-\frac{2}{x+y}}$，
令t=x+y，则x+y≥2$\sqrt{xy}$=2，
由函数z=4t-$\frac{2}{t}$在（2，+∞）单调递增可知
当t=x+y=2时，z=4t-$\frac{2}{t}$取最小7，
∴原式取最大值$\frac{3}{7}$
故答案为：$\frac{3}{7}$．

点评 本题考查基本不等式求最值，准确变形是解决问题的关键，属中档题．