Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且g（x）=-x²+2x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）解不等式f（x）≤g（x）+|x-1|；
（3）若函数h（x）=f（x）+λ•g（x）+1在区间[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y）是函数f（x）图象上任一点，则P关于原点对称的点Q（-x，-y）在函数g（x）的图象上，由此求得函数f（x）的解析式．
（2）由条件可得 2x²-|x-1|≤0． 分当x≥1时，当x＜1时两种情况，分别利用二次函数的性质求得不等式f（x）≤g（x）+|x-1|的解集．
（3）根据h（x）=（1-λ）x²+2（1+λ）x+1．①当λ=1时，检验符合题意．②当λ≠1时，函数h（x）图象的对称轴是直线x=

λ+1

λ-1

，再分当λ＜1时和当λ＞1时两种情况，分别依据条件求得λ的范围，从而得出结论．

解答：解：（1）设P（x，y）是函数f（x）图象上任一点，则P关于原点对称的点Q（-x，-y）在函数g（x）的图象上，
所以-y=-（-x）²+2（-x），故y=x²+2x，
所以，函数f（x）的解析式是f（x）=x²+2x．
（2）由f（x）≤g（x）+|x-1|，得x²+2x≤-x²+2x+|x-1|，即2x²-|x-1|≤0．  
当x≥1时，有2x²-x+1≤0，△=1-8=-7＜0，不等式无解．
当x＜1时，有2x²+x-1≤0，（2x-1）（x+1）≤0，解得-1≤x≤

1

2

，
综上，不等式f（x）≤g（x）+|x-1|的解集为[-1 ， 

1

2

]．  
（3）h（x）=x²+2x+λ（-x²+2x）+1=（1-λ）x²+2（1+λ）x+1．
①当λ=1时，h（x）=4x+1在区间[-1，1]上是增函数，符合题意．
②当λ≠1时，函数h（x）图象的对称轴是直线x=

λ+1

λ-1

． 
因为h（x）在区间[-1，1]上是增函数，
所以，1）当λ＜1时，1-λ＞0，函数h（x）图象开口向上，
故

λ+1

λ-1

≤-1，解得0≤λ＜1．
2）当λ＞1时，1-λ＜0，函数h（x）图象开口向下，
故

λ+1

λ-1

≥1，解得λ＞1．
综上，λ的取值范围是[0，+∞）．

点评：本题主要考查利用函数图象的对称性求函数的解析式，绝对值不等式的解法，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．