Question

已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（Ⅰ） 求函数g（x）的解析式；
（Ⅱ）解不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；
（Ⅲ）若h（x）=g（x）-λf（x）+1在[-1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），求出P，Q坐标关系，然后把Q坐标代入y=f（x）解析式即可；
（Ⅱ）把不等式表示出来，分x≥1及x＜1两种情况可解；
（Ⅲ）写出h（x）的解析式，由题意可知[-1，1]为函数h（x）的增区间的子集，分情况讨论可求λ的范围．

解答：解：（Ⅰ）设函数y=f（x）的图象上任意一点Q（x₀，y₀）关于原点的对称点为P（x，y），
则

x0+x 2 =0 y0+y 2 =0

即

x0=-x y0=-y.

∵点Q（x₀，y₀）在函数y=f（x）的图象上
∴-y=x²-2x，即y=-x²+2x，
故g（x）=-x²+2x．
（Ⅱ）由g（x）≥f（x）-|x-1|，可得2x²-|x-1|≤0，
当x≥1时，2x²-x+1≤0，此时不等式无解；
当x＜1时，2x²+x-1≤0，解得-1≤x≤

1

2

；
因此，原不等式的解集为[-1，

1

2

]．
（Ⅲ）h（x）=-（1+λ）x²+2（1-λ）x+1
①当λ=-1时，h（x）=4x+1在[-1，1]上是增函数，∴λ=-1
②当λ≠-1时，对称轴的方程为x=

1-λ

1+λ

．
（ⅰ）当λ＜-1时，

1-λ

1+λ

≤-1，解得λ＜-1．
（ⅱ）当λ＞-1时，

1-λ

1+λ

≥1，解得-1＜λ≤0．
综上，λ≤0．

点评：本题考查函数的单调性及含绝对值的不等式的求解，注意体会分类归纳思想在本题中的运用．