Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面，且，，，点G，H分别为边，的中点，点M是线段上的动点.

（1）求证：；

（2）若，当三棱锥的体积最大时，求点C到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接,相交于点O.由垂直平分线性质可得,由中位线定理可得,从而.再由平面,可得,所以平面,即可得.

（2）根据,,,可求得和,进而求得,由相似比与面积比关系求得,即可由等体积法求得.因而当点M与点E重合时取得最大值.由线段关系求得,再根据等体积,即可求得点D到平面的距离.

（1）证明：连接,相交于点O.如下图所示:

平面.平面,

.

又,,

为线段的垂直平分线.

.

∵G,H分别为,的中点,

,

,

又,,平面,

平面.

又平面,

.

（2）由（1）得,,.

,在中,,,

.

在中,.

的面积

,

∵G,H分别为,中点,

.

平面.即平面.

.

显然,当点M与点E重合时,取得最大值,此时.

连接,不难得出.

,.

又易知,

.

∵G是中点,

∴C到平面的距离等于D到平面的距离.

又,

,得.

∴点D到平面的距离为.