Question

18．在平行四边形ABCD中，AC与BD交于O，F是线段DC的三等分点，AF与CD交于点E，若$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{AE}$等于（　　）

• A． $\frac{1}{4}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{b}$
• B． $\frac{3}{4}\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{b}$
• C． $\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{b}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{b}$

Answer 1

分析 根据两个三角形相似对应边成比例，得到E是BD的四等分点，进而可得$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$），进而得到答案．

解答 解：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，
∴△ABE∽△FDE，
∵F是线段DC的三等分点，
∴DF：CD=DF：AB=DE：BE=1：3，
即E是BD的四等分点，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{DB}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AD}$）=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AD}$，
∵$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{a}+\frac{3}{4}\overrightarrow{b}$
故选：A

点评 向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好运算，才能用向量解决立体几何问题，三角函数问题，好多问题都是以向量为载体的．