Question

9．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$（a＞0）
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）如果P（x₀，y₀）是曲线y=f（x）上的任意一点，若以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤$\frac{1}{2}$恒成立，求实数a的最小值；
（3）讨论关于x的方程f（x）=$\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$的实根的个数情况．

Answer 1

分析 （1）将a=1代入，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间；
（2）先求出函数的导数，问题转化为a≥-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀对x₀＞0恒成立，从而求出a的最小值；
（3）问题转化为b=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，x＞0，构造函数h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-b+$\frac{1}{2}$，通过讨论h（x）的单调性，从而判断出方程f（x）=0的根的情况．

解答 解：（1）当a=1时，$f（x）=lnx+\frac{1}{x}$，定义域为（0，+∞），…（1分）
则$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{x-1}{x^2}$…（2分）
令f′（x）＞0，得x＞1，由f′（x）＜0，得0＜x＜1，
所以f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．…（4分）
（2）由题意，f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a}{{x}^{2}}$=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
以P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k满足k=f′（x₀）=$\frac{{x}_{0}-a}{{{x}_{0}}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$（x₀＞0），
所以a≥-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀对x₀＞0恒成立．…（6分）
又当x₀＞0时，-$\frac{1}{2}$${{x}_{0}}^{2}$+x₀≤$\frac{1}{2}$，所以a的最小值为$\frac{1}{2}$…（8分）
（3）由题意，方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$化简得
b=lnx-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$，x＞0，
令h（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²-b+$\frac{1}{2}$，则h′（x）=$\frac{1}{x}$-x=$\frac{（1+x）（1-x）}{x}$．
当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，
所以h（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减．…（10分）
所以h（x）在x=1处取得极大值，即最大值，最大值为
h（1）=ln1-$\frac{1}{2}$×1²-b+$\frac{1}{2}$=-b…（11分）
所以当-b＞0时，即b＜0时，y=h（x）的图象与x轴恰有两个交点，
方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$有两个实根；…（12分）
当b=0时，y=h（x）的图象与x轴恰有一个交点，
方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$有一个实根；…（13分）
当b＞0时，y=h（x）的图象与x轴无交点，
方程$f（x）=\frac{{{x^3}+2（bx+a）}}{2x}-\frac{1}{2}$无实根．…（14分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，曲线的切线方程问题，是一道综合题．