Question

6．已知集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$，0≤x≤3}．
（1）若A∩B=∅，求a的取值范围；
（2）当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的a的最小值时，求（∁_RA）∩B．

Answer 1

分析 （1）先解出集合中的一元二次不等式，然后根据A∩B=空集，说明集合A，B没有共同的元素，从而求出实数a的范围；
（2）由条件判断a=-2，求出C_RA，即可求得（C_RA）∩B．

解答 解：（1）∵y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$（x-1）²+2，
∴y=$\frac{1}{2}$x²-x+$\frac{5}{2}$在[0，1]递减，在[1，3]上递增，
当x=1时，有最小值，即为2，当x=3时，有最大值，即为4，
∴2≤y≤4，
∴B=[2，4]，
∵A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}═{y|（y-a）[y-（a²+1）]＞0}，又a²+1＞a
∴A={y＞a²+1或y＜a}，
∵A∩B=∅，
∴a²+1≥4或a≤2，
∴$\sqrt{3}$≤a≤2或a≤-$\sqrt{3}$，
（2）使不等式x²+1≥ax恒成立时，即x²+1-ax≥0，由判别式△=a²-4≤0，解得-2≤a≤2，
故当a取使不等式x²+1≥ax恒成立的最小值时，a=-2．
由（1）可得C_RA={y|a≤y≤a²+1 }={y|-2≤y≤5}，B={y|2≤y≤4}．
（C_RA）∩B=B=[2，4]．

点评 本题主要考查两个集合的补集、交集、并集的定义和运算，二次函数的性质，属于基础题