Question

15．已知$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，其中$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，则cosα=$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}}{6}$．

Answer 1

分析 由α的范围求得$α+\frac{π}{3}$的范围，由平方关系结合已知求得$cos（α+\frac{π}{3}）=-\frac{\sqrt{5}}{3}$，再由cosα=cos[（$α+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]展开两角差的余弦得答案．

解答 解：∵$\frac{π}{6}＜α＜\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{2}＜α+\frac{π}{3}＜π$，
又$sin（α+\frac{π}{3}）=\frac{2}{3}$，∴$cos（α+\frac{π}{3}）=-\frac{\sqrt{5}}{3}$．
则cosα=cos[（$α+\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{3}$]=cos（$α+\frac{π}{3}$）cos$\frac{π}{3}$+sin（$α+\frac{π}{3}$）sin$\frac{π}{3}$
=$-\frac{\sqrt{5}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$．
故答案为：$\frac{{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}}{6}$．

点评 本题考查已知角的三角函数值求未知角的三角函数值，考查了两角和与差的三角函数，关键是“拆角与配角”思想的应用，是中档题．