Question

5．在等差数列{a_n}中，首项a₁=1，数列{b_n}满足b_n=（$\frac{1}{2}$）^a_n，b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜2．

Answer 1

分析 （I）通过b₁=$\frac{1}{2}$、b₂=$\frac{1}{{2}^{1+d}}$、b₃=$\frac{1}{{2}^{1+2d}}$，利用b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$计算即得结论；
（Ⅱ）通过a_n=n可知a_nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．

解答 （I）解：设等差数列{a_n}的公差为d，
依题意，b₁=$\frac{1}{2}$，b₂=$\frac{1}{{2}^{1+d}}$，b₃=$\frac{1}{{2}^{1+2d}}$，
∵b₁b₂b₃=$\frac{1}{64}$，
∴$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{2}^{1+d}}$•$\frac{1}{{2}^{1+2d}}$=$\frac{1}{{2}^{6}}$，
∴1+（1+d）+（1+2d）=6，
解得：d=1，
∴a_n=1+（n-1）=n；
（Ⅱ）证明：∵a_n=n，∴b_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
a_nb_n=n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
记T_n=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=1•$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+3•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
则$\frac{1}{2}•$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
 两式相减得：$\frac{1}{2}•$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=2（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$）=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∵2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$＜2，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n＜2．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．