Question

13．实数m为何值时，复数z=m²（$\frac{1}{m+5}$+i）+（8m+15）i+$\frac{m-6}{m+5}$．
（1）为实数；
（2）为虚数；
（3）为纯虚数．

Answer 1

分析 （1）利用“z为实数等价于虚部为0”计算即可；
（2）利用“z为虚数等价于虚部不为0”计算即可；
（3）利用“z为纯虚数等价于虚部不为0且实部为0”计算即可．

解答 解：z=m²（$\frac{1}{m+5}$+i）+（8m+15）i+$\frac{m-6}{m+5}$=$\frac{{m}^{2}+m-6}{m+5}$+（m²+8m+15）i．
（1）z为实数等价于m²+8m+15=0且m+5≠0，
解得：m=-3；
（2）z为虚数等价于m²+8m+15≠0且m+5≠0，
解得：m≠-3且m≠-5；
（3）z为纯虚数等价于$\frac{{m}^{2}+m-6}{m+5}$且m²+8m+15≠0，
解得：m=2．

点评 本题考查复数的基本概念，注意解题方法的积累，属于基础题．