Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且椭圆C与直线$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$y-3$\sqrt{2}$=0相切，直线l：y=kx-3与椭圆C交于不同的两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求以AB为直径的圆过椭圆的右焦点时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）运用离心率公式和a，b，c的关系，将直线$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$y-3$\sqrt{2}$=0代入椭圆方程，运用判别式为0，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）y=kx-3代入椭圆方程x²+2y²=10，运用判别式大于0，韦达定理，结合直径所对的圆周角为直角，运用向量的数量积的坐标表示，即可得到斜率k，进而得到直线方程．

解答 解：（1）由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²-b²=c²，
可设a=2t，b=c=$\sqrt{2}$t，
则椭圆方程为x²+2y²=4t²，
直线$\sqrt{2}$x-$\sqrt{5}$y-3$\sqrt{2}$=0代入椭圆方程，可得
$\frac{9}{5}$x²-$\frac{12\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$x+18-4t²=0，
由直线和椭圆相切，可得判别式为0，
即为$\frac{144×2}{5}$-4×$\frac{9}{5}$×（18-4t²）=0，
解得t=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
即有a=$\sqrt{10}$，b=$\sqrt{5}$，
则椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）由y=kx-3代入椭圆方程x²+2y²=10，
可得（1+2k²）x²-12kx+8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
判别式为144k²-32（1+2k²）＞0，
解得k²＞$\frac{2}{5}$．
x₁+x₂=$\frac{12k}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$，
以AB为直径的圆过椭圆的右焦点F（$\sqrt{5}$，0）．
即有$\overrightarrow{AF}$⊥$\overrightarrow{BF}$=0，即为$\overrightarrow{AF}$•$\overrightarrow{BF}$=0，
（x₁-$\sqrt{5}$）（x₂-$\sqrt{5}$）+y₁y₂=0，
即为x₁x₂+5-$\sqrt{5}$（x₁+x₂）+（kx₁-3）（kx₂-3）=0，
即有（1+k²）x₁x₂-（$\sqrt{5}$+3k）（x₁+x₂）+14=0，
即为（1+k²）•$\frac{8}{1+2{k}^{2}}$-（$\sqrt{5}$+3k）•$\frac{12k}{1+2{k}^{2}}$+14=0，
解得k=$\frac{11\sqrt{5}}{30}$，k²＞$\frac{2}{5}$．成立．
即有直线l的方程为y=$\frac{11\sqrt{5}}{30}$x-3．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用判别式和韦达定理，考查运算能力，属于中档题．