Question

18．已知F₁、F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右焦点，点P为椭圆C上的动点，则△PF₁F₂的重心G的轨迹方程为$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$（y≠0）．

Answer 1

分析 先确定椭圆的焦点坐标，再利用三角形的重心坐标公式，求得G、P坐标之间的关系，利用点P为椭圆C上的动点，即可求得△PF₁F₂的重心G的轨迹方程．

解答 解：∵F₁、F₂分别为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$的左、右焦点
∴F₁（-1，0）、F₂（1，0）
设G（x，y），P（m，n），则$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-1+1+m}{3}}\\{y=\frac{0+0+n}{3}}\end{array}\right.$，∴m=3x，n=3y
∵点P为椭圆C上的动点
∴$\frac{{m}^{2}}{4}+\frac{{n}^{2}}{3}=1$
∴$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$
∵G是△PF₁F₂的重心
∴y≠0
∴△PF₁F₂的重心G的轨迹方程为$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$（y≠0）
故答案为：$\frac{9{x}^{2}}{4}+3{y}^{2}=1$（y≠0）．

点评 本题考查轨迹方程的求解，考查三角形的重心坐标公式，解题的关键是利用代入法解决点随点动型轨迹方程．