Question

已知P为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上一点，F₁，F₂为该双曲线的左、右焦点，若∠F1PF2=

π

3

，则△F₁PF₂的面积为

16

3

．

Answer 1

分析：由P为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上一点，∠F1PF2=

π

3

，利用双曲线第一定义和余弦定理列出方程组，求出|PF₁|•|PF₂|=64，由此能够求出△F₁PF₂的面积．

解答：解：∵P为双曲线

x2

9

-

y2

16

=1上一点，∠F1PF2=

π

3

，
∴

||PF1|-|PF2||=6 |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|•|PF2|•cos60°=100

，
∴

|PF1|2-2|PF1|•|PF2|+|PF2|2=36 |PF1|2+|PF2|2-|PF1|•|PF2|=100

，
解得|PF₁|•|PF₂|=64，
∴△F₁PF₂的面积S=

1

2

×|PF₁|•|PF₂|×sin60°=

1

2

×64×

3

2

=16

3

．
故答案为：16

3

．

点评：本题考查三角形的面积的求法，具本涉及到椭圆的简单性质，余弦定理，正弦定理，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．