Question

已知P为双曲线C：

x2

9

-

y2

16

=1上的点，点M满足|

OM

|=1，且

OM

•

PM

=0，则当|

PM

|取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为（　　）

• A．

  9

  5

• B．

  12

  5

• C．4
• D．5

Answer 1

分析：依题意可求得点P的坐标为P（3，0），利用点到直线间的距离公式即可求得点P到双曲线C的渐近线的距离．

解答：解：∵|

OM

|=1，
∴点M的轨迹是以原点为圆心，1为半径的单位圆；
不妨设P为双曲线右支上的任一点，∵

OM

•

PM

=0，
∴OM⊥PM，
∴△OPM为直角三角形，且∠OMP=90°，|OP|为该直角三角形的斜边长；
∵P为双曲线C：

x2

9

-

y2

16

=1上的点，
在Rt三角形OPM中，要使直角边|

PM

|最小，由于|

OM

|=1，故只需|OP|最小，
∵当点P为双曲线C的右支与x轴的交点时，|OP|最小，此时P（3，0）．
∵双曲线C：

x2

9

-

y2

16

=1的一条渐近线方程为y=

4

3

x，
∴点P到渐近线4x-3y=0的距离d=

|4×3-3×0|

42+(-3)2

=

12

5

．
故选B．

点评：本题考查双曲线的简单性质，考查向量式的几何意义，求得点P的坐标为（3，0）是关键，考查转化思想与逻辑思维能力，属于难题．