Question

（2012•安徽模拟）设椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过M（2，

2

），N（

6

，1）两点，O为坐标原点，
（1）求椭圆E的方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A、B，且

OA

⊥

OB

？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆E过M、N，知

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

，由此能求出椭圆E．
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

，知（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，再由根的判别式和韦达定理能求出|AB|取值范围．

解答：解：（1）椭圆E过M、N
∴

4 a2 + 2 b2 =1 6 a2 + 1 b2 =1

∴

a2=8 b2=4

∴椭圆E：

x2

8

+

y2

4

=1（5分）
（2）假设存在这样的圆，设该圆的切线为y=kx+m，由

y=kx+m x2 8 + y2 4 =1

∴（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
当△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-8）=8（8k²-m²+4）＞0

x1+x2=- 4km 1+2k2 x1x2= 2m2-8 1+2k2

y1y2=( kx1+m ) ( kx2+m )=k2x1x2+km ( x1+x2)+m2=

m2-8k2

1+2k2

，要使

OA

⊥

OB

∴x₁x₂+y₁y₂=0∴

2m2-8

1+2k2

+

m2-8k2

1+2k2

=0
∴3m²-8k²-8=0∴k2=

3m2-8

8

≥0
又 8k²-m²+4＞0∴

m2＞2 3m2≥8

∴m2≥

8

3

∴m≥

2 6

3

 或 m≤-

2 6

3

又y=kx+m与圆心在原点的圆相切
∴r=

|m|

1+k2

，即r2=

m2

1+k2

=

m2

1+ 3m2-8 8

=

8

3

，r=

2 6

3

∴所求圆：x2+y2=

8

3

当切线斜率不存在时，切线为x=±

2 6

3

，与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1交于（

2 6

3

，±

2 6

3

）
或（-

2 6

3

，±

2 6

3

），满足

OA

⊥

OB

综上：存在这样的圆x2+y2=

8

3

满足条件 （9分）
∵|AB| =

1+k2

|x1-x2| =

32 (4k4+5k2+1) 3 (4k4+4k2+1)

=

32 3 ( 1+ k2 4k4+4k2+1  )

当k≠0时，|AB|=

32 3 (1+ 1 4k2+ 1 k2 +4 )

∴

4 6

3

＜ |AB| ≤2

3

（当k=±

2

2

时取等）
当k=0时，|AB| =

4

3

6

当k不存时，|AB| =

4

3

6

∴|AB| ∈[ 

4

3

6

 ，  2

3

 ]（12分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．