Question

【题目】已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从每条曲线上各取两个点，其坐标分别是，，，．

（）求，的标准方程．

（）过点的直线与椭圆交于不同的两点，，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），（2）或．

【解析】

(1) 根据题意布列关于待定系数的方程组，解之即可;

(2) 设直线l：y＝kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+4k2）x2+16kx+12＝0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出直线l的斜率k的取值范围．

解：（）由题意抛物线的顶点为原点，

所以点一定在椭圆上，且，则椭圆上任何点的横坐标的绝对值都小于等于，

所以也在椭圆上，，，故椭圆标准方程，

所以点、在抛物线上，且抛物线开口向右，其方程，，，

所以方程为．

（）①当直线斜率不存在时，易知三点共线，不符题意．

②当斜率存在时，设，，，

，

，

，

令，

，

，

或，

，，

，

,

,

,

，

令

，

即，

或．

综上：或．