Question

【题目】设实数x，y满足约束条件 ，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为10，则a2+b2的最小值为 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得y= ，
作出可行域如图：
∵a＞0，b＞0，
∴直线y= 的斜率为负，且截距最大时，z也最大．
平移直线y= ，由图象可知当y= 经过点A时，
直线的截距最大，此时z也最大．
由 ，解得 ，即A（4，6）．
此时z=4a+6b=10，
即2a+3b﹣5=0，
即（a，b）在直线2x+3y﹣5=0上，
a2+b2的几何意义为直线上点到圆的距离的平方，
则圆心到直线的距离d= ，
则a2+b2的最小值为d2= ，
故答案为： ．

作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求 的最小值．