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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上.
(1)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;
(2)当AB1⊥MN时,求二面角M-AB1-N的大小.
(1)连接MA、B1M,过M作MN⊥B1M,且MN交CC1点N,
在正△ABC中,AM⊥BC,
又∵平面ABC⊥平面BB1C1C,
平面ABC∩平面BB1C1C=BC,
∴AM⊥平面BB1C1C,
∵MN?平面BB1C1C,
∴MN⊥AM.
∵AM∩B1M=M,
∴MN⊥平面AMB1,∴MN⊥AB1
∵在Rt△B1BM与Rt△MCN中,
易知∠NMC=∠BB1M,
∴tan∠NMC=
NC
MC
,∴NC=tan∠BB1M=
1
2

即N为C1C四等分点(靠近点C).
(2)过点M作ME⊥AB1,垂足为R,连接EN,
由(1)知MN⊥平面AMB1
∴EN⊥AB1
∴∠MEN为二面角M-AB1-N的平面角.
∵正三棱柱ABC-A1B1C1,BB1=BC=2,
∴AB1=2
2
,AM=
3
B1M=
5

由AM⊥平面BC1,知AM⊥B1M.
在Rt△AMB1中,ME=
AM•B1M
AB1
=
3
×
5
2
2
=
30
4

又MN=
1+(
1
2
)
2
=
5
2

故在Rt△EMN中,tan∠MEN=
MN
ME
=
6
3

故二面角M-AB1-N的大小为arctan
6
3

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3
9
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3
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