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如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,棱长为4,E为面A1D1DA的中心,
CF=3FC1,AH=3HD,
(1)求异面直线EB1与HF之间的距离
(2)求二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值.
如图建立直角坐标系D1-xyz,则E(2,0,2),B1(4,4,0),H(1,0,4)
(1)
EB1
=(2,4,-2),
HF
=(-1,4,-3)
EH
=(-1,0,2),设
n
=(x,y,z)
n
EB1
=0
n
HF
=0
2x+4y-2z=0
-x+4y-3z=0

,取x=1,则z=-3,y=-2,
n
=(1,-2,-3)
异面直线EB1与HF之间的距离为
|
n
EH
|
|
n
|
=
|-1+0-6|
14
=
14
2

(2))
EB1
=(2,4,-2),
EA1
=(2,0,-2),
EH
=(-1,0,2),
设平面HB1E的法向量为
m1
=(x,y,z)
m1
EH
=0
m1
EB1
=0

2x+4y-2z=0
2x-2z=0
取x=2,则y=
1
2
,z=1.∴
m1
=(2,
1
2
,1)
令平面A1B1E的法向量为
m2
=(x,y,z)
m2
EB1
=0
m2
EA1
=0

取x=1,y=0,z=1,则为
m2
=(1,0,1)
∴|cos
m1
m2
|=
|
m1
m2
|
|m1|
|m2
|
=
42
7

∵二面角H-B1E-A为钝二面角.
∴二面角H-B1E-A1的平面角的余弦值为-
42
7
练习册系列答案
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π
4
π
6
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A.1B.2C.
2
D.
3

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如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1=BC=2,且M是BC的中点,点N在CC1上.
(1)试确定点N的位置,使AB1⊥MN;
(2)当AB1⊥MN时,求二面角M-AB1-N的大小.

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