Question

（本小题满分16分）设直线与椭圆相交于两点.

（1）若，求的范围；

（2）若，且椭圆上存在一点其横坐标为，求点的纵坐标；

（3）若，且，求椭圆方程.

Answer 1

（1）；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）联立直线与椭圆方程，整理成关于的方程，利用进行求解；（2）联立直线与椭圆方程，整理成关于的方程，利用平面向量的数量积为0与其横坐标为求解；（3）构造三角形，利用平面向量的数量积为0与三角形的面积进行求解.

解题思路:1.直线与椭圆的位置关系的判定方法：联立直线与椭圆的方程，整理成关于的方程，利用判别式的符号进行判定（相交于两个交点；，相切于一个交点；，两者相离，无交点）

2. .

试题解析：（1）将直线代入椭圆方程，因为直线与椭圆交于两点，故

解得，所以的范围为.

（2）将直线代入椭圆方程，可得：

由可得，解得

即，代到椭圆方程得

即，

所以点的纵坐标为 .

（3）设直线与坐标轴交于，则

又两个三角形等高，故

所以，求得

所以，

所以椭圆方程为.

考点：1.直线与椭圆的位置关系；2.椭圆的标准方程；3.平面向量垂直的判定.