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求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0交点且面积最小的圆的方程.

答案:
解析:

  思路  ①过直线与圆的交点的圆的方程可用圆系方程处理

  思路  ①过直线与圆的交点的圆的方程可用圆系方程处理.

  ②利用函数的思想进行思考.

  解法一  令过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y+1=0交点的圆系方程为:x2+y2+2x-4y+1+λ(2x+y+4)=0,即:x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+4λ+1=0

  r=

  =

  当r=时rmin所求方程为(x+)2+(y-)2

  解法二  因直线和圆为固定,直线被已知圆截得弦长固定,所以圆的圆心到已知直线距离最小时所求圆的半径最小.此时圆面积最小,所以当所求圆的圆心在直线2x+y+4=0上时,圆的半径最小.

  令动圆的方程为:x2+y2+2(1+λ)x-(4-λ)y+1+4λ=0,圆心为(-(1+λ),)代入2x+y-4=0得:

  -2(1+λ)++4=0,λ=代入动圆的方程为:

  x2+y2x-y+=0


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