Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，边长AB=a且PD=a，PA=PC=

2

a，若在这个四棱锥内放一个球，求球的最大半径．（提示：PD是四棱锥P-ABCD的高）

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大．连接SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面．由体积关系，得V_P-ABCD=

R

3

（S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD+S_{正方形ABCD}）即可得出．

解答： 解：设放入的球的半径为R，球心为S，当且仅当球与四棱锥的各个面都相切时，球的半径最大．
连接SA、SB、SC、SD、SP，则把此四棱锥分割成四个三棱锥和一个四棱锥，这些小棱锥的高均为R，底面为原四棱锥的侧面或底面．
由体积关系，得V_P-ABCD=

R

3

（S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD+S_{正方形ABCD}）
=

R

3

(

2

2

a2+

2

2

a2+

1

2

a2+

1

2

a2+a2)=

R

3

(2+

2

)a2，
∵V_P-ABCD=

1

3

PD•S正方形ABCD=

1

3

a3，
∴

1

3

a3=

R

3

(2+

2

)a2，
解得R=

2- 2

2

a．
∴球的最大半径是

2- 2

2

a．

点评：本题考查了三棱锥的体积计算公式、求相切问题，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．