Question

已知命题p：方程x²+ax+1=0有解，命题q：

x2

a

+y²=1的焦点在x轴上．若“p或q”为真命题，“p且q”是假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：分别求得命题p、q为真时a的取值范围，再根据复合命题真值表得：若“p或q”为真命题，“p且q”是假命题，则命题p、q一真一假，分p真q假和p假q真求a的范围．

解答：解：∵方程x²+ax+1=0有解，
则△=a²-4≥0⇒a≥2或a≤-2
∴命题p为真命题时，a≥2或a≤-2
∵

x2

a

+y²=1的焦点在x轴上，
∴a＞1，
∴命题q为真命题时，a＞1，
由复合命题真值表得：若“p或q”为真命题，“p且q”是假命题，则命题p、q一真一假，
当p真q假时，

a≥2或a≤-2 a≤1

⇒a≤-2；
当p假q真时，

-2＜a＜2 a＞1

⇒1＜a＜2．
综上a的取值范围是a≤-2或1＜a＜2．

点评：本题借助考查了复合命题的真假判定，考查了椭圆的标准方程及一元二次方程解的判断，体现了分类讨论思想．