Question

设函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8（a∈R）在x=3处取得极值
（1）求常数a的值；
（2）求f（x）在R上的单调区间；
（3）求f（x）在[-4，4]上的最值．

Answer 1

分析：（1）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a因f（x）在x=3取得极值，由此能求出a．
（2）由（1）知f'（x）=6x²-24x+18=6（x-3）（x-1）=0得x₁=3，x₂=1．由此能求出f（x）在R上的单调区间．
（3）由（2）知f（x）在（-4，1）和（3，4）上单调增，（1，3）上单调减，由此能求出f（x）在[-4，4]上的最值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8（a∈R），
∴f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a，
因f（x）在x=3取得极值，
所以f'（3）=0．解得a=3．（3分）
经检验知当a=3时，x=3为f（x）为极值点．
故a=3．（2分）
（2）由（1）知f'（x）=6x²-24x+18=6（x-3）（x-1）=0，
得x₁=3，x₂=1．
故f（x）在（-∞，1）和（3，+∞）上单调增，
（1，3）上单调减．（5分）
（3）由（2）知f（x）在（-4，1）和（3，4）上单调增，（1，3）上单调减
又f（-4）=-384，
f（1）=f（4）=16，
f（3）=8，
∴f（x）在[-4，4]上的最大值为16，最小值为-384．（5分）

点评：本题考查求常数a的值，求f（x）在R上的单调区间，求f（x）在[-4，4]上的最值．解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐条件，合理地进行等价转化．