Question

（2012•绵阳二模）已知函数f（x）=3^x-1的反函数为f^-1（x），且f^-1（17）=a+2
（1）求a的值；
（2）若f^-1（a_n-1）=log₃n，S_n是数列{a_n}的前n项和，若不等式λa_n≤2ⁿ•S_n对任意n∈N^*恒成立，求实数λ的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由y=3^x-1＞-1，可求反函数，代入f^-1（17）=a+2，可求a
（Ⅱ）由f^-1（a_n-1）=log₃n，可求a_n=n，由等差数列的求和公式可求Sn=

n(n+1)

2

，要使λan-2n•Sn≤0对任意n∈N*恒成立，则λ≤2^n-1•（n+1）对任意n∈N*恒成立，利用数列的单调性可求b_n的最大值，可求

解答：解：（Ⅰ）令y=3^x-1＞-1，则x=log₃（y+1），
∴f^-1（x）=log₃（x+1），x＞-1．
∵f^-1（17）=a+2，即log₃18=a+2，
解得 a=log₃2．  （6分）
（Ⅱ）∵f^-1（a_n-1）=log₃n，
∴log₃a_n=log₃n，即a_n=n．
则数列{a_n}的前n项和Sn=

n(n+1)

2

，
要使λan-2n•Sn≤0对任意n∈N^*恒成立，
即使λ≤2^n-1•（n+1）对任意n∈N^*恒成立．
又数列bn=2n-1(n+1)为单调递增数列，
∴b_n的最小值为b₁=2，
∴λ≤2，即λ的最大值为2． （12分）

点评：本题主要考查了以反函数的求解为载体，考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，数列单调性在求解数列的最值中的应用，函数恒成立与最值求解的相互转化