Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=

π

2

，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥平面ABCD，E是线段AB的中点．
（I）求证：DE⊥平面PAC；
（II）求二面角B-PA-C的大小．

Answer 1

分析：（I）取CD中点F，连接EF，欲证DE⊥平面PAC，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证DE与平面PAC内两相交直线垂直，而DE⊥AC，PC⊥DE，满足定理条件；
（II）以点C为坐标原点，分别以CD，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，求出平面PAC的法向量

DE

和平面PAB的一个法向量为

n

，计算两个法向量的夹角，即可求出二面角B-PA-C的大小．

解答：解：（I）取CD中点F，连接EF，
则EF⊥CD，EF=

1

2

(AD+BC)=2
∵AD=DF=1，CD=EF=2，∠CDA=∠EFD=90°
∴△CDA≌△EFD∴∠DAC=∠FDE
∵∠EDA+∠FDE=90°∴∠EDA+∠DAC=90°∴DE⊥AC（4分）
∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥DE∴DE⊥平面PAC（6分）
（II）以点C为坐标原点，分别以CD，CB，CP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，
则C（0，0，0），D（2，0，0），B（0，3，0），P（0，0，2），A（2，1，0），E（1，2，0）
∵DE⊥平面PAC∴平面PAC的一个法向量为

DE

=(-1，2，0)（8分）
设平面PAB的一个法向量为

n

=(x，y，z)，
由

PA

=(2，1，-2)，

PB

=(0，3，-2)，
得

2x+y-2z=0 3y-2z=0

不妨令x=1，则y=1，z=

3

2

，
即

n

=(1，1，

3

2

)（10分）
∴cos＜

DE

，

n

＞=

(-1)•1+2•1+0• 3 2

5 • 17 2

=

2 85

85

∴二面角B-PA-C的大小为arccos

2 85

85

.（12分）

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及利用空间向量求二面角的大小，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．