Question

18．定义：若函数y=f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使得函数f（x）的图象上在这两点处的切线关于垂直于x轴的某条直线对称，则称函数y=f（x）为D函数．下列选项是D函数的为（　　）

• A． y=x³
• B． y=cosx
• C． y=lnx
• D． y=e^x

Answer 1

分析 由题意，f（x）的导函数上存在两点，使这两点的导函数值互为相反数，然后对四个函数逐一求导判断．

解答 解：函数y=f（x）的图象上存在两个不同的点A，B，使得函数f（x）的图象上在这两点处的切线关于垂直于x轴的某条直线对称，说明f（x）的导函数上存在两点，使这两点的导函数值互为相反数．
当y=x³时，y′=3x²≥0，不满足题意；
当y=cosx时，y′=-sinx，满足题意；
当y=lnx时，y′=$\frac{1}{x}＞0$，不满足题意；
当y=e^x时，y′=e^x＞0，不满足题意．
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是明确函数在某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．