Question

13．二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=2x+m，若对任意的x∈[-1，1]，f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（0）=1，解得：c=1，由 f（x+1）-f（x）=2x．利用待定系数法求解即可．
（2）不等式 f（x）＞2x+m，化为x²-3x+1-m＞0．设 h（x）=x²-3x+1-m，对称轴为 x=$\frac{3}{2}$，判断h（x）在[-1，1]上是单调递减函数．然后最后求解即可．

解答 解：（1）设为f（x）=ax²+bx+c，
由题可知：f（0）=1，解得：c=1，
由 f（x+1）-f（x）=2x．可知：[a（x+1）²+b（x+1）+1]-（ax²+bx+1）=2x
化简得：2ax+a+b=2x，
所以：a=1，b=-1．∴f（x）=x²-x+1．
（2）不等式 f（x）＞2x+m，可化简为 x²-x+1＞2x+m
即：x²-3x+1-m＞0．
设h（x）=x²-3x+1-m，则其对称轴为 x=$\frac{3}{2}$，∴h（x）在[-1，1]上是单调递减函数．
因此只需h（x）的最小值大于零即可，∴g（1）＞0．
代入得：1-3+1-m＞0解得：m＜-1
所以实数 m的取值范围是：m＜-1（备注：此题分离参数也可）

点评 本题考查二次函数的解析式的求法，函数恒成立的应用，考查转化思想以及计算能力．