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    函数对于任意的实数都有成立，且当时恒成立.

    （1）证明函数的奇偶性；

    （2）若，求函数在上的最大值；

    （3）解关于的不等式

     

    （1）见解析;（2）4;（3）

    【解析】

    试题分析：（1）先求出，再取，证明出，得出为奇函数.（2）先用定义法证明是在上是减函数，即得出在上最大.（3）通过已知给出的式子讲不等式合并成一项，再通过当时恒成立，即可解出不等式.

    试题解析：（1）令得，再令，即得，所以是奇函数 2分

    设任意的，且，则，由已知得（1）

    又（2）

    由（1）（2）可知，

    由函数的单调性定义知在上是减函数 6分

    时，，

    当时的最大值为. 8分

    由已知得：，所以，

    所以，所以，当时恒成立，所以恒大于，解得，即原不等式的解集是. 14分

    考点：函数的奇偶性和单调性的综合应用.

     

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