Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F，P，Q分别是BC，C₁D₁，AD₁，BD的中点．
（1）求证：PQ∥平面DCC₁D₁；
（2）求EF的长，并求异面直线PQ，EF所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）连接AC，CD₁，由P，Q分别为AD₁、AC的中点，知PQ∥CD₁，由此能够证明PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）建立空间直角坐标系，求出E、F、P、Q，坐标利用空间两点距离公式直接求EF的长，利用向量数量积求异面直线PQ，EF所成角的余弦值．

解答：解：（1）证明：如图所示，连接AC，CD₁，
∵P，Q分别为AD₁、AC的中点，∴PQ∥CD₁，
∵CD₁?平面DCC₁D₁，PQ?平面DCC₁D₁，
∴PQ∥平面DCC₁D₁．
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为a，所以D（0，0，0），E（

a

2

，a，0），F（0，

a

2

，a），P（

a

2

，0，

a

2

），Q（

a

2

，

a

2

，0），
所以

EF

=（-

a

2

，

a

2

，a）.

QP

=（0，-

a

2

，

a

2

），
所以EF的长：|

EF

|=

(- a 2 )2+( a 2 )2+a2

=

6

2

a．
异面直线PQ，EF所成角的余弦值：cosθ=

EF • QP

| EF || QP |

=

a 2 ×(- a 2 )+a× a 2

6 2 a× 2 2 a

=

3

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查异面直线所成角的求法，空间两点的距离公式．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地化空间问题为平面问题．